ストレートとフラッシュ

ときどき無性に何かを計算したくなるときがある。確か前回は2年程前のこと、ダイビングで10m深く潜るごとに何故都合よく1気圧づつ水圧が増えていくのか、というのを計算して納得したのを覚えている。（といっても正確には1気圧ではなかったが）。確かその前は6年程前だろうか、ビリヤードで手玉を的球に当てる時の厚さに対する角度を三角関数を用いて計算し、表にしていつでも見れるように携帯のメモ帳に入れておいた。（結局使わなかったが）

さて、そして今回。これは中学校時代から疑問に思っていたことである。ポーカーのストレートとフラッシュはどちらが確率が高いのだろうか。もちろんフラッシュの方がストレートよりも強いわけだから、普通に考えればフラッシュの方が確率は低いと考えるだろうが、僕にはどうもストレートの方が確率が低そうな気がしてならないのである。というわけで計算してみた。

【フラッシュ】

こちらは簡単である。

1×12/51×11/50×10/49×9/48=1475/749700=0.001967...≒0.197%

【ストレート】

こちらはものすごくやっかいである。

1枚目の数字に対して2枚目の数字が4つ違いだった場合。
例えば1枚目の[5]に対して2枚目が[1]または[9]
この場合3枚目以降の数字は最初の2枚の間の数字でないと不成立となるので

1×8/51×12/50×8/49×4/48=3072/5997600

（※ストレートの場合マークはなんでもいいのですべて4倍している）

次に、1枚目の数字に対して2枚目の数字が3つ違いだった場合。・・・（１）
例えば1枚目の[5]に対して2枚目が[2]または[8]

　（１）の条件の上で3枚目が最初の2枚の外側の数字だった場合。
　例えば最初の2枚[5][2]に対して3枚目が[1]または[6]
　この場合4枚目以降の数字は最初の3枚の間の数字でないと不成立となるので
　例えば最初の3枚[5][2][1]に対して[3]または[4]でないと不成立。

　1×8/51×8/50×8/49×4/48=2048/5997600

　（１）の条件の上で3枚目が最初の2枚の内側の数字だった場合。・・・（２）
　例えば最初の2枚[5][2]に対して3枚目が[3]または[4]

　　（１）（２）の条件の上で4枚目の数字が最初の3枚の内側だった場合。
　　例えば最初の3枚[5][2][3]に対して4枚目が[4]
　　この場合5枚目はどちらの端の数字でも成立するので
　　例えば最初の4枚[5][2][3][4]に対して[1]または[6]で成立。

　　1×8/51×8/50×4/49×8/48=2048/5997600

　　（１）（２）の条件の上で4枚目の数字が最初の3枚の外側だった場合。
　　例えば最初の3枚[5][2][3]に対して4枚目が[1]または[6]
　　この場合5枚目は間の数字でないと不成立となるので
　　例えば最初の4枚[5][2][3][1]に対して[4]でないと不成立。

　　1×8/51×8/50×8/49×4/48=2048/5997600

次に、1枚目の数字に対して2枚目の数字が2つ違いだった場合。・・・（３）
例えば1枚目の[5]に対して2枚目が[3]または[7]

　（３）の条件の上で3枚目が最初の2枚の2つ外側の数字だった場合。
　例えば最初の2枚[5][3]に対して3枚目が[1]または[7]
　この場合4枚目以降の数字は最初の3枚の間の数字でないと不成立となるので
　例えば最初の3枚[5][3][7]に対して[4]または[6]でないと不成立。

　1×8/51×8/50×8/49×4/48=2048/5997600

　（３）の条件の上で3枚目が最初の2枚の1つ外側の数字だった場合。・・・（４）
　例えば最初の2枚[5][3]に対して3枚目が[2]または[6]

　　（３）（４）の条件の上で4枚目の数字が最初の3枚の内側だった場合。
　　例えば最初の3枚[5][3][2]に対して4枚目が[4]
　　この場合5枚目はどちらの端の数字でも成立するので
　　例えば最初の4枚[5][3][2][4]に対して[6]または[1]で成立。

　　1×8/51×8/50×4/49×8/48=2048/5997600

　　（３）（４）の条件の上で4枚目の数字が最初の3枚の外側だった場合。
　　例えば最初の3枚[5][3][2]に対して4枚目が[1]または[6]
　　この場合5枚目は間の数字でないと不成立となるので
　　例えば最初の4枚[5][2][3][1]に対して[4]でないと不成立。

　　1×8/51×8/50×8/49×4/48=2048/5997600

次に、1枚目の数字に対して2枚目の数字が1つ違いだった場合。・・・（５）
例えば1枚目の[5]に対して2枚目が[4]または[6]

　（５）の条件の上で3枚目が最初の2枚の3つ外側の数字だった場合。
　例えば最初の2枚[5][4]に対して3枚目が[1]または[8]
　この場合4枚目以降の数字は最初の3枚の間の数字でないと不成立となるので
　例えば最初の3枚[5][4][1]に対して[2]または[3]でないと不成立。

　1×8/51×8/50×8/49×4/48=2048/5997600

　（５）の条件の上で3枚目が最初の2枚の2つ外側の数字だった場合。・・・（６）
　例えば最初の2枚[5][4]に対して3枚目が[2]または[7]

　　（５）（６）の条件の上で4枚目の数字が最初の3枚の内側だった場合。
　　例えば最初の3枚[5][4][2]に対して4枚目が[3]
　　この場合5枚目はどちらの端の数字でも成立するので
　　例えば最初の4枚[5][4][2][3]に対して[1]または[6]で成立。

　　1×8/51×8/50×4/49×8/48=2048/5997600

　　（５）（６）の条件の上で4枚目の数字が最初の3枚の外側だった場合。
　　例えば最初の3枚[5][4][2]に対して4枚目が[1]または[6]
　　この場合5枚目は間の数字でないと不成立となるので
　　例えば最初の4枚[5][2][3][1]に対して[4]でないと不成立。

　　1×8/51×8/50×8/49×4/48=2048/5997600

　（５）の条件の上で3枚目が最初の2枚の1つ外側の数字だった場合。
　例えば最初の2枚[5][4]に対して3枚目が[3]または[6]
　この場合4枚目以降は端の数字でないと不成立となるので

　1×8/51×8/50×8/49×4/48=2048/5997600

よってストレートの確率はすべてを加算して、

3072/5997600　+2048/5997600+2048/5997600+2048/5997600
　+2048/5997600+2048/5997600+2048/5997600
　　+2048/5997600+2048/5997600+2048/5997600
　　　+2048/5997600=736/187425=0.003926...≒0.393%

やっぱりフラッシュの方が確率は低かった。伝統のゲームだからルールがしっかりしているのは当然と言えば当然か。

ただ今回算出した確率にはどちらにもストレートフラッシュの確率が含まれている。純粋にストレートとフラッシュを計算するならこの確率からストレートフラッシュの確率を引かなければならない。さらに言うと、この計算はあくまでも最初に配られたカードによってできる確率である。ポーカーにはチェンジというルールもあるのだ。しかし、そこまで考慮すると・・・・（汗）。これを読んだ誰かに託す。

ちなみにここまで書いて日本ポーカープレイヤーズ協会のサイトを見てみた。なんとストレートでA（エース）とK（キング）は連続とみなされないらしい（今まで知らなかった）。ということは1枚目の数字が[4]以下と[10]以上の場合をまた別に考えなければならないということで、ストレートの確率はもう少し低くなるはず。その点も含めて誰か暇人に託す。